Thực đơn
Biến đổi tuyến tính
Nếu V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} là các không gian vectơ hữu hạn chiều và một cơ sở được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ V {\displaystyle V} vào W {\displaystyle W} có thể được biểu diễn bởi một ma trận.[9] Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu A {\displaystyle A} là ma trận thực m × n {\displaystyle m\times n} , thì f ( x ) = A x {\displaystyle f(x)=Ax} mô tả một ánh xạ tuyến tính R n → R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} (xem không gian Euclid).
Cho { v 1 , ⋯ , v n } {\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}\}} là một cơ sở của V. Vậy thì mỗi vectơ v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ) c 1 , ⋯ , c n {\displaystyle \mathbf {c} _{1},\cdots ,\mathbf {c} _{n}} trong trường R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} :
c 1 v 1 + ⋯ + c n v n . {\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}Nếu f : V → W {\textstyle f:V\rightarrow W} là một ánh xạ tuyến tính thì ta có
f ( c 1 v 1 + ⋯ + c n v n ) = c 1 f ( v 1 ) + ⋯ + c n f ( v n ) , {\displaystyle f\left(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\right)=c_{1}f\left(\mathbf {v} _{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}từ điều này suy ra rằng hàm f {\displaystyle f} hoàn toàn được xác định bởi các vectơ f ( v 1 ) , ⋯ , f ( v n ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\cdots ,f(\mathbf {v} _{n})} . Ta có { w 1 , ⋯ , w m } {\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\cdots ,\mathbf {w} _{m}\}} là một cơ sở của W {\displaystyle W} . Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ f ( v j ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})} dưới dạng
f ( v j ) = a 1 j w 1 + ⋯ + a m j w m . {\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}Vì vậy, biến đổi f {\displaystyle f} hoàn toàn được xác định bởi các giá trị a i j {\displaystyle a_{ij}} . Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận M {\displaystyle M} với kích thước m × n {\displaystyle m\times n} , thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của f {\displaystyle f} cho một vectơ bất kỳ trong V {\displaystyle V} . Để xây dựng M {\displaystyle M} , mỗi cột j {\displaystyle j} của M {\displaystyle M} là một vectơ
( a 1 j ⋯ a m j ) T {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}&\cdots &a_{mj}\end{pmatrix}}^{\textsf {T}}}tương ứng với f ( v j ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})} được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột j {\displaystyle j} tương ứng với ánh xạ f ( v j ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})} thì
M = ( ⋯ a 1 j ⋯ ⋮ a m j ) {\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}trong đó M {\displaystyle M} là ma trận của biến đổi f {\displaystyle f} . Nói cách khác, ở mỗi cột j = 1 , ⋯ , n {\displaystyle j=1,\cdots ,n} có một vectơ tương ứng f ( v j ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})} với tọa độ a 1 j + ⋯ + a m j {\displaystyle a_{1j}+\cdots +a_{mj}} là các phần tử của cột j {\displaystyle j} . Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Trong không gian hai chiều R2 các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các ma trận thực 2 × 2 . Dưới đây là một số ví dụ:
Thực đơn
Biến đổi tuyến tínhLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Biến đổi tuyến tính